miércoles, 4 de noviembre de 2020

A GOLPES DE RAZÓN: LA LECCIÓN DE SISSA ANTE LA PANDEMIA

 




LA LEYENDA DE SISSA: EL ORIGEN DEL AJEDREZ

 

   Hace mucho tiempo, en uno de los reinos de la antigua India, en lo que hoy sería Pakistán o Afganistán, vivía un desdichado rey. Este rey, rico y poderoso, había perdido toda su felicidad al perder un hijo en la guerra.

   Melancólico y devastado por la muerte de su adorado hijo, el rey se abandonó a sí mismo, y descuidaba su reino y a los que en él vivían. Tal era el estado en el que estaba sumido el rey, que sus más cercanos consejeros y ministros se esforzaban por animarlo: invitaban a cantantes, músicos o bailarines para que trataran de distraerlo y con ello, que el rey volviera a ocuparse de su reino. Sin embargo, él no podía dejar de pensar que la victoria en la guerra había significado la pérdida de su hijo. El rey era tremendamente infeliz.

   Preocupado por el estado del reino a consecuencia de la tristeza de su rey, un sabio, Sissa decidió crear un juego que consiguiera devolverle parte de su alegría al rey, además de hacerle comprender sus errores en la guerra.

   Tras reflexionar largo tiempo, Sissa, con su juego preparado, decidió presentarse frente a su rey para mostrárselo. Así pues, abrió una caja y aparecieron ante el rey: Un hermoso tablero de madera, con 64 casillas y 32 figuritas también de madera. Tras explicarle a su rey que era un juego de guerra en el que participaban dos personas, y explicarle sus reglas, se pusieron a jugar.

   Emocionado por el juego que acababa de descubrir, el rey jugó durante horas y días y semanas contra todos sus ministros, consejeros y todo aquel dispuesto a retarle.  Agradecido de que por fin alguien hubiera conseguido distraerlo, le ofreció a Sissa cualquier cosa que este quisiera. Tras mucho insistir, puesto que Sissa se negaba a aceptar sus regalos, el sabio aceptó y le pidió a cambio de su juego lo siguiente:

   “Quiero un grano de trigo en la primera casilla del juego, y 2 en la segunda, y 4 en la tercera y así sucesivamente…” El rey, extrañado porque alguien con tanta sabiduría, capaz de crear un juego como aquel, le pidiera tan poco, ordenó a sus ayudantes que calcularan el número total de granos de trigo y se los dieran a Sissa.

   Tras unas horas calculando, los ayudantes se acercaron y le comunicaron al rey “Su majestad, no hay en el reino cantidad suficiente de trigo para pagar la deuda con el sabio Sissa…”



La cantidad de granos de trigo equivalía a: 

T_{64} = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{63} = \sum_{i=0}^{63} 2^i  = 2^{64} - 1

Es decir, ¡18 446 744 073 709 551 615 granos de trigo!

   El rey quedó boquiabierto, ¡jamás podría haber imaginado que lo que el sabio le pedía era imposible de pagar incluso con sus enormes riquezas! No obstante, satisfecho por haber conseguido que el rey volviera a estar feliz y por la lección matemática que le había dado al reino, Sissa renunció al presente.

----------------------

   El ajedrez tiene más de mil doscientos años de historia. Circulan muchas leyendas sobre su origen. Hoy se cree que el ajedrez constituye una evolución del juego de mesa llamado shatranj, que proviene, a su vez, del chaturanga, ideado en la India en el siglo VI. Las referencias más antiguas al chaturanga que existen se encuentran en el Mahábharata escrito alrededor del año 500 d. C., mientras que la versión moderna del chaturanga se ha jugado desde alrededor del año 600 de nuestra era, por lo que se le considera la versión más antigua del ajedrez. El shatranj, fue la forma en la que el ajedrez llegó a la Europa medieval.


Tablero de ajedrez - Sissa

LA FÁBULA DEL AJEDREZ Y EL CORONAVIRUS

   Muchos libros de divulgación matemática han utilizado la leyenda del tablero de ajedrez para ilustrar las propiedades de la función exponencial; entre ellas, su capacidad para desbordar nuestra intuición, mucho más afinada para las progresiones aritméticas. Los humanos entendemos fácilmente funciones que aumentan a un ritmo constante (por ejemplo, una línea recta) pero una función que aumenta proporcionalmente a su valor (esto es, una exponencial) nos confunde rápidamente. 

A golpes de razón: La lección de Sissa ante la Pandemia

   ¿Qué ley matemática sigue la propagación de una pandemia como la del Covid19? Supongamos que tenemos un grupo de población N y que cada persona de este grupo transmite la enfermedad a otras dos de fuera del grupo. Si esa transmisión se realiza en un tiempo t0, entonces hemos doblado la población infectada (y con capacidad de infectar) siguiendo exactamente la ley del tablero de ajedrez, esto es, recorremos cada «casilla» en un tiempo t0. La progresión, por tanto, es exponencial. Pero no olvidemos que a medida que la enfermedad avanza, la población que se ha contagiado y ya no puede contagiarse de nuevo (o bien porque se han curado o bien porque han sucumbido), también aumenta. Por tanto, cuando la población es fija, llega un momento en que el número de nuevos casos deja de crecer exponencialmente y eventualmente decrece. En el caso límite, al cabo de cierto tiempo toda la población se ha infectado y la propagación del virus cesa. Por otra parte, si el virus puede saltar a otros núcleos poblacionales, como es el caso, en cada uno de ellos se reproduce el esquema de un crecimiento inicial presumiblemente exponencial. 

   En la primera fase de la pandemia, es decir, en los meses de marzo a junio de 2020, las declaraciones oficiales definían la evolución del foco de COVID-19 en España como «en fase de contención» y aseguraban que la mayor parte de los casos eran «importados» (dando a entender que la epidemia se circunscribía a un número limitado de ciudadanos que la traían de otros países «de riesgo»). En cuanto a las medidas que se han tomado hasta el momento, destaca la timidez doméstica frente a la energía que han mostrado otros países como Corea del Sur, China o Japón.

   ¿Están justificadas las drásticas medidas que se han tomado allende nuestras fronteras? ¿Son efectivas o bien sólo sirven para dañar la economía y perjudicar a las personas sin que su efecto sea relevante en la propagación de la enfermedad? La pregunta no es fácil de responder. La expansión del virus depende de muchos factores, incluyendo el número de casos iniciales, la tasa de reproducción, el periodo de incubación, la capacidad de transmitir el patógeno antes de presentar síntomas etc. Todos estos factores pueden incluirse en modelos matemáticos que permiten predecir la evolución de la epidemia e incluso la potencial utilidad de las medidas de contención. Está claro que «el control del contacto y el aislamiento de los infectados pueden ser suficientes para controlar un foco de COVID-19 en tres meses». Por tanto, conseguir tal control puede ser muy difícil y requiere un intenso esfuerzo de las autoridades sanitarias y la cooperación de la población.

   Por otra parte, sin entrar en modelos matemáticos, los datos sobre el impacto del COVID-19 están disponibles en la red y tienen mucho que decir sobre la evolución de la enfermedad hasta el momento.

LA LEYENDA DEL AJEDREZ

 

 


No hay comentarios: